재미있는 정수론 이야기 몇가지.

‘페르마의 마지막 정리’에 나온 몇가지 수학 이야기를 소개한다. 참고 : ‘페르마의 마지막 정리’를 읽다.

1. 한수의 약수를 모두 더한 값이 다른 수가 되는 한쌍의 수를 친화수라고 한다. 220과 284의 경우가 그렇다. 220의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110인데 이를 모두 더하면 284가 된다. 284의 약수는 1, 2, 4, 71, 142인데 역시 모두 더하면 220이 된다. 신기하지 않은가.

그래서 220과 284는 사랑이 이루어지는 수로 알려졌다. 두개의 과일에 220과 284라고 적고 사랑하는 연인이 하나씩 나눠 먹으면 수학적 최음효과가 나타난다는 주장도 있었다.

안타깝게도 친화수는 220과 284 말고는 없는 것 같았다. 적어도 피타고라스 이후 1500년 동안은 발견되지 않았다.

1636년 페르마는 길고 지루한 계산 끝에 17296과 18416을 발견했다. 그뒤 데카르트도 9363584와 9437056을 발견했다. 레온하르트 오일러는 62쌍의 친화수를 발견했고 1866년에 니콜로 파가니니는 선배들이 놓쳤던 1184와 1210도 친화수라는 사실을 발견했다.

놀랍지 않은가. 아직도 수학에는 이런 미지의 영역이 얼마든지 있다.

2. 페르마는 이밖에도 신기하고 재미있는 수학적 업적을 많이 만들어 냈다. ’26의 증명’도 그 하나다.

26은 5의 제곱인 25와 3의 3제곱인 27사이에 끼어있는 수다. 페르마는 이렇게 제곱수와 세제곱수 사이에 끼어있는 수가 자연수를 통털어 26 밖에 없다는 사실을 증명하고 문제로 내놓았다. 간단해 보이지만 결코 쉬운 문제가 아니었다.

3. 다음 수는 모두 1과 자신 밖에 약수를 갖지 않는 소수다.

31, 331, 3331, 3333, 333331, 3333331, 33333331.

수학자들은 끝의 자리를 뺀 나머지 숫자가 모두 3인 이런 유형의 숫자들이 모두 소수일거라고 가정하고 증명에 열을 올렸다. 그러나 안타깝게도 333333331이 17×19607843으로 나눠진다는 사실이 뒤늦게 발견됐다. 계산이 어려워서 그렇지 가능성은 얼마든지 있다.

4. 오일러의 추론 가운데 이런게 있다. 페르마 정리랑 비슷해보이는데 항이 하나 더 많다. 오일러는 이 방정식에도 해가 없다고 주장했다.

x⁴+y⁴+z⁴=w⁴

오일러의 추론은 200년동안 맞는 걸로 알려졌다. 컴퓨터가 발명된 뒤에도 한동안 이 방정식을 만족시키는 해는 발견되지 않았다. 1988년에 이르러서야 노암 엘키스가 다음과 같은 해를 찾아냈다.

2682440⁴+15265639⁴+18796760⁴=20615673⁴

엘키스는 한발 더 나아가 이 방정식을 만족하는 네개의 정수가 무한히 많다는 사실을 증명했다. 아직 발견하지 못했을뿐 해는 무한히 많다. 하나만 찾아내봐라. 당신은 수학책에 이름을 올리게 된다.

5. 우주의 입자의 개수는 10⁸⁷개다. 이 입자들을 말판삼아 체스경기를 벌일 때 경우의 수는
10^{1010000000000000000000000000000000000} 정도다.

6. 약수를 모두 더한 수가 자신과 일치하는 수를 완전수라고 한다. 6과 28은 완전수다.

6의 약수는 1, 2, 3, 모두 더하면 6이 된다. 28의 약수는 1, 2, 4, 7, 14, 역시 모두 더하면 28이 된다. 수천년동안 인류가 발견한 완전수는 30개뿐이다.

세번째 완전수는 496, 네번째는 8128, 다섯번째는 8589869056이다.

최근에 발견된 완전수는 13만자리 숫자다.

2²¹⁶⁰⁹⁰×(2²¹⁶⁰⁹¹-1)

완전수는 무한히 많은 것일까. 완전수는 모두 짝수일까. 수많은 수학자들이 매달렸지만 이 또한 아직까지 증명되지 않았다.

7. 2만큼 차이나는 두개의 소수를 쌍소수라고 한다. 굉장히 많기는 하지만, 과연쌍소수는 무한한 것일까. 이 또한 역시 증명되지 않았다.

5와 7, 17과 19, 22271과 22273, 1000000000061과 1000000000063 등등.