2002/11/30(토)
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이정환의 원주율 공식.  

원주율 π는 둘레라는 뜻의 그리스어 περιφερεια에서 나왔다. 나는 1994년에 아래에 소개할 원주율 공식을 만들어 냈다. 나는 이 공식을 ‘이정환의 원주율 공식’이라고 부른다. 여기 그 해법을 소개한다.

원주율은 원의 둘레의 길이가 지름의 몇 배인가를 나타내는 수다.



원을 4토막으로 쪼개보자.



그리고 각 꼭지점들을 이어보자.



4각형이 만들어졌다. 이 4각형의 변의 길이를 모두 더하면 원의 둘레의 길이와 같을까. 아니라고? 그럼 다시 8토막으로 쪼개보자. 그리고 각 꼭지점들을 이어보자.



2의 세제곱, 8각형이 만들어졌다. 어때, 8각형 둘레의 길이와 원의 둘레의 길이는 같을까. 그래도 시원치 않은가. 그럼 다시 쪼개보자. 이제 2의 네제곱, 16각형이다.



어떤가, 거의 원과 비슷하지 않은가. 만약 이렇게 원을 계속 조각을 내면서 32각형, 64각형, 128각형, 256각형, 512각형, 1024각형, 2048각형으로 늘려가면 원에 거의 가까운 모양을 얻을 수 있다. 굉장히 많이, 무한히 조각을 낼 수 있다면 그건 이미 원이나 다름없다.

자 이제 한토막을 확대해 보자. 아까 그렸던 4각형의 한토막이다.



이걸 한번 더 토막내면 이런 그림이 된다. 위의 그림 위에 덮어서 그려봤다.



어떤 조각의 한 변, 빨간색 선을 이라고 하자. 한번 더 토막낸 조각의 한 변 파란색 선을 이라고 하자. 두번 더 토막낸 조각의 한 변 연두색 선은 가 될 것이다.





어떤 조각의 안쪽 각도, 빨간색 각을 이라고 하자. 한번 더 토막낸 조각의 안쪽 각도, 파란색 각은 이라고 하자. 또 사이의 각도, 분홍색 각을 이라고 하자.





이제 본격적으로 계산을 시작해보자. 파란색 선 을 밑변으로 하는 이등변 삼각형을 보자. 삼각형 세 각의 합은 180도니까,



계산하면 이 된다. 그럼, 계산은 거의 끝났다.




다시 정리하면,



1부터 대입해보면,





이렇게 된다.

우리는 처음에 원을 네 토막으로 쪼개고 시작했다. 여기서 는 당연히 √2고 는 당연히 90°다.

계산하기 쉽게 반지름을 1이라고 놓고 계산해 보자.
그럼 n = 0일 때 가 된다. n = 1일 때 8각형 둘레를 놓고 보면, 이 된다. n = 2일 때 16각형 둘레를 놓고 보면 가 된다.

정리하면 이 된다.

여기에 아까 만든 식을 대입하면,



고등학교 때 배운 삼각함수 공식을 써보자.



이 공식을 대입하고 정리하면



보기 쉽게 정리해주면 이런 공식이 나온다.




이게 바로 '이정환의 원주율 공식'이다.






그러나 안타깝게도 이 공식을 나보다 500년 앞서 만들어낸 수학자가 있었다. 프랑스의 프랑스와즈 비에트다. 비에트가 나와 같은 방식으로 이 공식을 만들어냈는가는 알려져 있지 않다. ‘이정환의 원주율 공식’은 굉장히 의미 있는 공식이었다. 네델란드의 루돌프는 이 공식을 써서 원주율을 소수점 35자리까지 계산했다. 그래서 독일에서는 원주율 π를 루돌프의 수라고 부른다.

직관의 힘은 놀랍다. 직관의 힘은 한계를 뛰어넘어 해답에 이르는 가장 빠른 길을 찾아낸다. 신의 축복과도 같은 것이다. 8년이 지난 지금 그 축복은 과연 지나간 기억일 뿐일까. 사라지고 남은 흔적일 뿐일까.

안타깝게도 나는 이 공식을 만들고 난 다음 수학자의 꿈을 버려야 했다. 나는 페트로스 파파크리토스의 절망을 이해할 수 있다. 그리고 그의 고독을 이해할 수 있다. 나는 수학자의 꿈을 버리고 글을 쓰는 사람이 됐다.

8년이 지난 어느날 나는 ‘골드바흐의 추측’이라는 책을 읽고 문득, ‘이정환의 원주율 공식’을 떠올렸다. 그리고 8년 만에 똑같은 문제를 다시 풀어봤다. 오래된 열정과 꿈이 되살아난다. 22살, 햇볕이 드는 도서관 창가에 앉아 수학 문제를 풀던 기억, 연습장 가득 넘쳐나던 낙서. 나는 비 오는 잔디밭을 가로질러 달려가면서 소리쳤다. “모든 게 가능해. 마음 먹은대로 될 거야.”





컴퓨터를 돌리면 훨씬 쉽게 결과를 끌어낼 수 있다. 요즘 컴퓨터가 쓰는 공식은 1701년에 메쉰이 만들었다. 지금까지 알려진 모든 공식 가운데 가장 효율적으로 원주율을 계산할 수 있다.



결과는 다음과 같다. 소수점 5000자리까지 계산한 것이다. 이정환닷컴 자료실에 프로그램 파일을 올려뒀다. 참고하기 바란다.

π = 3.14159265358979323846 26433832795028841971 69399375105820974944 59230781640628620899 86280348253421170679 82148086513282306647 09384460955058223172 53594081284811174502 84102701938521105559 64462294895493038196 44288109756659334461 28475648233786783165 27120190914564856692 34603486104543266482 13393607260249141273 72458700660631558817 48815209209628292540 91715364367892590360 01133053054882046652 13841469519415116094 33057270365759591953 09218611738193261179 31051185480744623799 62749567351885752724 89122793818301194912 98336733624406566430 86021394946395224737 19070217986094370277 05392171762931767523 84674818467669405132 00056812714526356082 77857713427577896091 73637178721468440901 22495343014654958537 10507922796892589235 42019956112129021960 86403441815981362977 47713099605187072113 49999998372978049951 05973173281609631859 50244594553469083026 42522308253344685035 26193118817101000313 78387528865875332083 81420617177669147303 59825349042875546873 11595628638823537875 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