이름: 이정환
2003/3/17(월) 03:46 (MSIE6.0,WindowsNT5.1) 61.111.92.230 1024x768
조회: 729
생일이 같은 사람 찾기.  

쉬운 문제 하나.

문제 : 축구 경기장에서 뛰고 있는 23명의 사람들을 생각해 보자. 한팀에 11명씩 22명에 심판 1명까지 더하면 모두 23명이다. 이 가운데 생일이 같은 두 사람이 섞여 있을 확률은 얼마나 될까.

답 : 50.73%다.

스물세명만 모여도 그 가운데 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 절반이 넘는다. 간단히 설명을 하고 넘어가자. 두 사람이 모였을 때 두 사람의 생일이 다를 확률은 364/365 = 99.72%다. 세사람이 모였을 때 세 사람의 생일이 모두 다를 확률은 364/365 * 363/365 = 99.17%다. 네 사람이면 364/365 * 363/365 * 362/365 = 98.36%다. 스물세명이 모여 스물세명의 생일이 모두 다를 확률은 같은 계산으로 49.23%다. 그래서 생일이 같은 사람이 한쌍이라도 있을 확률은 100 - 49.23 = 50.73%가 된다.

믿기지 않는가. 30명이 모이면 확률은 70.63%로 늘어난다. 35명이면 80%, 41명이면 90%가 넘는다. 고등학교 때처럼 한반에 60명이 모인다면 생일이 같은 두 사람이 있을 확률은 무려 99.41%다. 내기를 좋아하는 사람이라면 사람들이 잔뜩 모여있을 때 내기를 걸어도 좋다. 70% 정도의 확률만 돼도 모험을 걸어볼만 하지 않을까.

결과를 보여주겠다. 직접 계산해 봐도 좋다. 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이다.


2명이 모였을 때 0.27%
3명이 모였을 때 0.82%
4명이 모였을 때 1.64%
5명이 모였을 때 2.71%
6명이 모였을 때 4.05%
7명이 모였을 때 5.62%
8명이 모였을 때 7.43%
9명이 모였을 때 9.46%
10명이 모였을 때 11.69%
11명이 모였을 때 14.11%
12명이 모였을 때 16.70%
13명이 모였을 때 19.44%
14명이 모였을 때 22.31%
15명이 모였을 때 25.29%
16명이 모였을 때 28.36%
17명이 모였을 때 31.50%
18명이 모였을 때 34.69%
19명이 모였을 때 37.91%
20명이 모였을 때 41.14%
21명이 모였을 때 44.37%
22명이 모였을 때 47.57%
23명이 모였을 때 50.73%
24명이 모였을 때 53.83%
25명이 모였을 때 56.87%
26명이 모였을 때 59.82%
27명이 모였을 때 62.69%
28명이 모였을 때 65.45%
29명이 모였을 때 68.10%
30명이 모였을 때 70.63%
31명이 모였을 때 73.05%
32명이 모였을 때 75.33%
33명이 모였을 때 77.50%
34명이 모였을 때 79.53%
35명이 모였을 때 81.44%
36명이 모였을 때 83.22%
37명이 모였을 때 84.87%
38명이 모였을 때 86.41%
39명이 모였을 때 87.82%
40명이 모였을 때 89.12%
41명이 모였을 때 90.32%
42명이 모였을 때 91.40%
43명이 모였을 때 92.39%
44명이 모였을 때 93.29%
45명이 모였을 때 94.10%
46명이 모였을 때 94.83%
47명이 모였을 때 95.48%
48명이 모였을 때 96.06%
49명이 모였을 때 96.58%
50명이 모였을 때 97.04%
51명이 모였을 때 97.44%
52명이 모였을 때 97.80%
53명이 모였을 때 98.11%
54명이 모였을 때 98.39%
55명이 모였을 때 98.63%
56명이 모였을 때 98.83%
57명이 모였을 때 99.01%
58명이 모였을 때 99.17%
59명이 모였을 때 99.30%
60명이 모였을 때 99.41%
61명이 모였을 때 99.51%
62명이 모였을 때 99.59%
63명이 모였을 때 99.66%
64명이 모였을 때 99.72%
65명이 모였을 때 99.77%
66명이 모였을 때 99.81%
67명이 모였을 때 99.84%
68명이 모였을 때 99.87%
69명이 모였을 때 99.90%
70명이 모였을 때 99.92%
71명이 모였을 때 99.93%
72명이 모였을 때 99.95%
73명이 모였을 때 99.96%
74명이 모였을 때 99.96%
75명이 모였을 때 99.97%
76명이 모였을 때 99.98%
77명이 모였을 때 99.98%
78명이 모였을 때 99.99%
79명이 모였을 때 99.99%
80명이 모였을 때 99.99%
81명이 모였을 때 99.99%
82명이 모였을 때 99.99%
83명이 모였을 때 100.00%
84명이 모였을 때 100.00%
85명이 모였을 때 100.00%
86명이 모였을 때 100.00%
87명이 모였을 때 100.00%
88명이 모였을 때 100.00%
89명이 모였을 때 100.00%
90명이 모였을 때 100.00%
91명이 모였을 때 100.00%
92명이 모였을 때 100.00%
93명이 모였을 때 100.00%
94명이 모였을 때 100.00%
95명이 모였을 때 100.00%
96명이 모였을 때 100.00%
97명이 모였을 때 100.00%
98명이 모였을 때 100.00%
99명이 모였을 때 100.00%
100명이 모였을 때 100.00%


직관은 가끔 실수를 저지른다. 이 문제에서 생일이 같은 사람이 그렇게 많지 않을 거라고 쉽게 생각하는 이유는 다들 나와 생일이 같은 사람을 쉽게 만나지 못했기 때문이다.

착각하지 말 것. 스물세명 가운데 생일이 같은 두 사람이 있을 확률은 50%가 넘는다. 그러나 스물세명 가운데 나와 생일이 같은 사람이 있을 확률은 6.12% 밖에 안된다. 계산하는 방법은 마찬가지다. 몇사람이 모였을 때 그 사람들이 모두 나와 생일이 다를 확률을 구하고 그 확률을 100.00%에서 빼주면 된다.

50% 확률을 가지려면 무려 253명이 모여야 한다. 나와 생일이 같은 사람을 만나기란 아주 어렵다. 365명이 모여도 확률은 63.26% 밖에 안된다. 365명의 두배, 730명이 모였을 때 확률은 겨우 86.50%다. 1000명이 모였을 때 나와 생일이 같은 사람이 있을 확률은 93.57%다.

결국 어느 모임을 가나 그 모임에는 왠만하면 생일이 같은 두 사람이 있기 마련이지만 나는 평생 가도 나와 생일이 같은 사람을 만나기 어렵다는 이야기다.


                   




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